公交公司应承担损害赔偿责任。根据《民法典》相关规定，公交站台路面破损导致摔伤，公交公司需赔偿医疗、护理等费用及误工收入。若不及时处理，可能影响伤势恢复，加重损失。
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摔伤后应尽快就医并保留证据。若公交公司同意赔付，签订协议并领取赔款；若不同意，可委托律师起诉。处理时需注意保留相关票据和证明文件，以便后续维权。
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摔伤后可先与公交公司协商赔付，协商不成可向法院起诉。选择处理方式时，应考虑伤势严重程度、赔偿金额及时间成本等因素。