公司应正视未签合同问题，考虑双倍赔偿。依据《劳动合同法》，未签合同需承担双倍工资及经济补偿责任，不及时处理可能影响公司声誉及面临法律制裁。
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公司应主动与员工协商赔偿，或选择劳动仲裁解决。若双方能达成一致，则签订协议；若不能，则准备相关证据，申请劳动仲裁，以法律途径解决争议。
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公司应协商或仲裁。具体操作：1.与员工沟通，承认错误，协商双倍赔偿及离职事宜；2.若协商不成，收集证据，如工资单、考勤记录等；3.向劳动仲裁委员会提起仲裁，提交证据，等待裁决。